\documentclass[twocolumn]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
% \usepackage[T2]{fontenc}
% \input{russian.sty}
%\documentstyle[12pt,russian]{article}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%\topmargin=-90pt
%\textheight=61pc
\topmargin=-80pt
\textheight=60pc
\textwidth=180mm
\oddsidemargin=-8mm
\evensidemargin=-8mm
\columnsep=4mm
\tolerance=1000
%______________________________________________________________________________
\input epsf
\newcommand{\grpicture}[1]
{
    \begin{center}
        \epsfxsize=200pt
%        \epsfxsize=\textwidth
        \epsfysize=0pt
        \vspace{-30mm}
        \parbox{\epsfxsize}{\epsffile{#1.ps}}
        \vspace{5mm}
    \end{center}
}
%______________________________________________________________________________
\newcommand{\gsim}{\:\raisebox{.25ex}{$>$}\hspace*{-.75em}
\raisebox{-.93ex}{$\sim$}\:}
\newcommand{\lsim}{\:\raisebox{.25ex}{$<$}\hspace*{-.75em}
\raisebox{-.93ex}{$\sim$}\:}
%______________________________________________________________________________

\begin{document}
%\thesaurus{
%            (03.13.4; %Methods: numerical
%             08.18.1  %Stars: rotation
%            )
%          }
\title{Быстро вращающиеся холодные нейтронные звезды}
\author{А.~Г.~Аксенов, С.~И.~Блинников, В.~С.~Имшенник\\
{\it Институт Теоретической и Экспериментальной физики,}\\
{\it 117259, Москва, Б. Черемушкинская 25, Россия}\\
{\small Рукопись поступила в Астрономический журнал 27.12.94}\\
{\small Принята в печать 6.04.95}\\
{\small Исправлена корректура 27.07.95}\\
{\small АЖ 72 No 5, 1995, стр.717--732 }
}
\date{27.07.95}
\maketitle

\begin{abstract}
%______________________________________________________________________________
Построены стационарные модели холодных быстро вращающихся нейтронных звезд.
Рассмотрение ограничивается осесимметричным случаем и ньютоновским
приближением, однако проводится оценка влияния эффектов ОТО.
Баротропное уравнение состояния и выбранный закон вращения
%сб: однозначно -- м.б. 2 и более решений при разных \rho_c
определяют состояние звезды при задании ее массы $M$ и момента $J$.
Определяется область параметров $M$, $J$,
обеспечивающих потерю динамической устойчивости звезды (фрагментацию) ---
отношение энергии вращения к гравитационной энергии $\beta>0.27$ ---
и допустимых для коллапсирующей звезды, т.е. область, в которой можно ожидать
выполнения условий двухстадийного коллапса и взрыва.
В частности, показано, что этим условиям удовлетворяет коллапсирующее
железно-кислородное ядро звезды с массой $2M_\odot$, описываемое
твердотельно вращающейся политропой, $n=3$, обладающей максимально
возможной угловой скоростью, находящейся на границе устойчивости относительно
коллапса.

{\language=0
%сб{\Large Newtonian rapidly rotating cold neutron stars,} by
{\Large Rapidly rotating cold neutron stars,} by
A.G.Aksenov, S.I.Blinnikov, V.S.Im\-shen\-nik.
Axially-symmetric stationary cold rapidly rotating neutron star models
are considered in Newtonian approximation.
The effects of general relativity are estimated.
The barotropic equation of state and the adopted rotation law completely
determine
the star structure at given mass $M$ and angular momentum $J$.
The definition of a region in the parameter space $(M,\;J)$
providing for the star fragmentation
($\beta\equiv E_{\rm{rot}}/E_{\rm{gr}}>0.27$) and
allowed for a collapsing star is the purpose of this work.
For this region the two-stage collapse and explosion mechanism is possible.
In particular, it is shown that
the core of the collapsing star describing by
a rigidly rotating polytrope $n=3$ with the mass $M=2M_\odot$
and the limiting  angular velocity on the verge of collapse
does satisfy these conditions.
}
\end{abstract}

\section{Введение}
%______________________________________________________________________________
В работах \cite{ImshNad1992}, \cite{ImshNad1977} рассматривался
коллапс вращающегося железно-кислородного ядра звезды массы $2M_\odot$.
В качестве начальной модели была выбрана звезда, находящаяся на
границе устойчивости --- политропа с $n=3$.
Начальное твердотельное вращение (для предсверхновой должна быть характерна
интенсивная конвекция, \cite{IvImshNad})
принято предельно сильным --- центробежная сила на экваторе равна силе тяжести.
Полный момент $J\simeq 9\cdot 10^{49}\mbox{ эрг}\cdot\mbox{сек}$ (здесь и ниже
мы часто используем краткий термин {\it момент} вместо более точного
{\it момент импульса} и очень распространенной кальки
{\it угловой момент}).
Однако при твердотельном вращении
отношение кинетической энергии вращения к гравитационной энергии невелико,
$\beta=E_{\rm{rot}}/|E_{\rm{gr}}|\simeq 0.02$, и эффекты, связанные с
вращением, в начальный момент времени несущественны.
Рассмотрение проводилось в одномерном приближении: считалось, что
плотность, давление, угловая скорость ($\rho, \; P, \; \Omega$)
зависят только от сферического радиуса,
а центробежная сила в уравнении движения усреднялась по телесному углу:
$\langle\Omega^2 r\sin\theta\rangle=\frac{2}{3}\Omega^2 r$.
Такое приближенное рассмотрение позволило хорошо описать нейтринный перенос
и потери энергии, просчитав задачу до времени образования стационарной
конфигурации ($\simeq 3\mbox{ сек}$).
При этом сброса массы не наблюдалось, значительная часть энергии была излучена
нейтрино, и в конечном состоянии была получена быстро вращающаяся
нейтронная звезда со следующими параметрами:
центральная плотность
$\rho_c\simeq 2.6\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
центральная температура $T_c\simeq 6.2\cdot 10^{10}\mbox{ К}$,
на границе нейтриносферы
$\rho_{\nu{\rm ph}}\simeq 4.5\cdot 10^{13}\mbox{ г}\cdot\mbox{ см}^{-3}$ и
$T_{\nu{\rm ph}}\simeq 2.2\cdot 10^{10}\mbox{ К}$,
энергия гравитационного поля $E_{\rm{gr}}\simeq -1.2\cdot 10^{53}\mbox{ эрг}$,
$\beta\simeq 0.42$,
угловая скорость в центре $\Omega_c\simeq 8.8\cdot 10^3\mbox{ сек}^{-1}$.

Большое значение параметра $\beta>0.27$ в полученной конфигурации указывало
на возможность фрагментации звезды в ходе коллапса и привело
к гипотезе о механизме двухстадийного коллапса и взрыва \cite{Imshennik1992},
\footnote{\rm
Деление быстро вращающейся
звезды на две звезды, перераспределение между ними момента $J$,
потеря $J$ за счет
гравитационного излучения, сближение двух звезд, перетекание массы от
маломассивной звезды к более массивной, взрыв маломассивной звезды при
достижении
массы $\simeq 0.1M_\odot$ с выделением энергии $\simeq 10^{51}\mbox{ эрг}$
\cite{BlinNovPerPoln}, \cite{ImshPop}, совпадающей
с энергией взрыва сверхновой.
}
альтернативному механизму коллапса и взрыва сверхновой,
предложенному, например, в
%сб: Колгейт!!! м.б. Вильсон
\cite{Arnett}, \cite{Burrows1987}, \cite{BurrGos}, \cite{BurrFry1993}
с увеличением потока нейтрино за счет крупномасштабной конвекции.

Возможен ли, а если да, то насколько типичным может быть сценарий коллапса,
предложенный в \cite{Imshennik1992}?
Каким условиям должна удовлетворять при этом начальная конфигурация?
Чтобы точно ответить на этот вопрос, необходимо решение трехмерной задачи о
коллапсе звезды с различными начальными данными.
Однако некоторые выводы можно сделать, исследуя устойчивость стационарных
конфигураций.

В данной работе построены осесимметричные модели быстро
вращающихся стационарных холодных ньютоновских нейтронных звезд с заданной
барионной массой $M\lsim 2M_\odot$ и полным моментом $J$
с целью определения области параметров $M,\;J$, обеспечивающих
потерю динамической устойчивости звезды относительно фрагментации
и допустимых для коллапсирующего ядра звезды.
Предполагается, что температура образующейся в ходе коллапса нейтронной
звезды низка: $P(\rho,T)\simeq P(\rho,T=0)$.
Тогда получается удобное баротропное уравнение состояния $P=P(\rho)$,
приводящее к зависимости $\Omega$ только от цилиндрического радиуса:
$\Omega=\Omega(\varpi)$ и для построения модели
необходимо только задать распределение момента по $\varpi$.
Последнее выбрано примерно таким же, как в стационарной
конфигурации, полученной
в расчетах \cite{ImshNad1992}: отношение центробежной силы к силе
тяжести в экваториальной плоскости постоянно.
Такой выбор позволяет перебрать все допустимые вириальной теоремой значения
параметра $\beta$: $0\leq\beta<0.5$,
а в случае несжимаемой жидкости приводит к решению с
$\Omega=\mbox{const}$ --- сфероидам Маклорена.
Выбор  параметров $M$, $J$ при этих условиях
%сб однозначно  -- нет!
определяет состояние нейтронной звезды.

Исследование условий динамической устойчивости осесимметричных
конфигураций относительно трехмерной неустойчивости с модой $m=2$
(и, как предполагается, последующей фрагментации), выполненное в
\cite{TassOstr}, \cite{OstrTass}, \cite{OstrBod}
для дифференциально вращающихся баротроп в
рамках вириальных уравнений второго порядка, приводит к критерию
$\beta\leq 0.27$.
Это получено для различных значений показателя политроп $n=3,\;1.5$
и достаточно произвольных законов вращения, что подтверждается, наконец, в
трехмерных расчетах по исследованию устойчивости \cite{TohDurMCCol}
и непосредственно фрагментации \cite{DurGinTohBoss} политропы $n=1.5$.
Для несжимаемой твердотельно вращающейся жидкости условие $\beta=0.27$
является точной границей динамической устойчивости \cite{Chandr},
\cite{Tassoul}.
Неравенство $\beta<0.27$ принято ниже в качестве критерия динамической
устойчивости
стационарных конфигураций относительно фрагментации (правильнее было бы
провести анализ вириальных уравнений второго порядка и
найти собственные частоты).
Таким образом, из расчетов видно, для каких параметров $M$, $J$
коллапсирующего ядра звезды
(при отсутствии существенной потери $M$ и $J$ в течение коллапса)
в выбранном классе решений, отвечающих конечному состоянию нейтронной звезды,
есть динамически устойчивые конфигурации, $\beta<0.27$.
Для области параметров $M$ и $J$ с $\beta>0.27$
естественно ожидать фрагментацию звезды при коллапсе.
И именно эту область, при условии допустимости параметров $M$, $J$ в начальном
состоянии коллапсирующего ядра звезды, можно будет рассматривать как наиболее
перспективную в смысле сценария двухстадийного коллапса и взрыва.
Окончательный ответ о возможности такого механизма можно получить из
решения трехмерной гидродинамической задачи.

Ньютоновское рассмотрение нейтронной звезды является приближенным,
так как эффекты ОТО для такого объекта могут быть весьма существенными.
Тем не менее оно в данном случае является правомерным, поскольку интерес
представляет не, в частности, значение максимальной массы звезды
\cite{Datta}, \cite{FriedIpsPar}
(без ОТО вопрос о максимальной массе не решается), а область с $M\lsim
2M_\odot$ и достаточно большим $\beta >0.27$,
соответствующая весьма протяженным, по сравнению с невращающимися, звездам.
К сожалению, критерий устойчивости относительно фрагментации объекта в ОТО
неизвестен.
Поправки, связанные с эффектами ОТО, рассмотрены ниже в
приближении политропного уравнения состояния.

\section{Постановка задачи и метод решения}
%______________________________________________________________________________

Рассматривается стационарная осесимметричная вращающаяся
самогравитирующая система:
\begin{eqnarray}
     \rho (\mbox{\boldmath$v$}\nabla )\mbox{\boldmath$v$}
    +\nabla P+\rho\nabla\Phi=0, \label{stat0}
\end{eqnarray}
где $\rho$ -- плотность, $P(\rho)$ -- давление, {\boldmath $v$} --
скорость вещества.
Гравитационный потенциал $\Phi$ удовлетворяет уравнению Пуассона
\begin{equation}
    \Delta\Phi = 4\pi G\rho. \label{eq:Poisson}
\end{equation}
Используются обозначения:
$(r, \theta, \varphi)$ -- сферические координаты,
($\varpi, \varphi, z)$ -- цилиндрические координаты.
Рассматривается движение без меридиональной циркуляции:
\begin{equation}
    \mbox{\boldmath$v$}
    =\varpi\Omega(\varpi,z)\mbox{\boldmath$e_{\varphi}$}.
\end{equation}
По теореме Пуанкаре баротропное уравнение состояния приводит к условию
(см., например, \cite{Tassoul}):
\begin{equation}
    \partial\Omega(\varpi,z)/\partial z = 0  \label{eq:poinc}
\end{equation}
и к уравнению Бернулли
\begin{equation}
    H(\rho)+\Phi+\Psi=C, \label{stat1}
\end{equation}
где $C$ --- некоторая постоянная, причем энтальпия $H$ определяется выражением:
\begin{equation}
    H(\rho)=\int^{P(\rho)}\frac{{\rm d} P}{\rho}, \label{eq:enth}
\end{equation}
а центробежный потенциал ---
\begin{equation}
    \Psi=-\int^\varpi \Omega^2(\varpi)
          \varpi{\rm d}\varpi.
\end{equation}
Выбранный нами закон вращения --- условие постоянства отношения центробежной
силы к
силе тяжести в экваториальной плоскости, записывается в виде:
\begin{eqnarray}
    \Omega^2\left(r,\theta=\pi/2\right) r
    =-C_1\frac{\partial\Phi(r,\theta=\pi/2)}{\partial r},\;
                                                            \nonumber \\
    0\leq C_1=\mbox{const}<1.
\end{eqnarray}

%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{gamma26}
\caption{График зависимости
        $\Gamma(\rho)
            ={ \left(
                    {\partial\ln P}/{\partial\ln\rho}
                \right)
             }_s
            ={d\ln P}/{d\ln\rho}
             $.
}
\label{GammaFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
Уравнение состояния вещества рассматривается в случае холодной материи.
Данные взяты из обзора \cite{Canuto} --- таблиц значений давления в некоторых
точках плотности, где принят равновесный химический состав, а
химический потенциал нейтрино равен нулю
%($-\mu_n+\mu_p+\mu_e=\mu_{\nu_e}=0$)
\cite{ShapTek}.
Точнее говоря,
при $\rho<10^{4}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
 --- уравнение состояния \cite{FeyMetTell};
 при $10^{4}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}<\rho
     <4.3\cdot 10^{11}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
 --- \cite{BaymPetSut};
 при $4.3\cdot 10^{11}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}<\rho
     <2.2\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
      --- \cite{BaymBetPet};
 при $2.2\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}<\rho
     <10^{15}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
      --- таблица~12 из обзора \cite{Canuto};
 выбор границ областей обеспечивает гладкую сшивку данных.
Если при $\rho<4\cdot 10^{11}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
уравнение состояния изучено хорошо,
то при больших плотностях, особенно
$\rho>2\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$  существует больш\'{а}я
неопределенность: давление может различаться на множитель порядка 2 у
разных авторов.
На рис.~\ref{GammaFig} представлена зависимость показателя адиабаты
$\Gamma(\rho)={\left({\partial\ln P}/{\partial\ln\rho}\right)}_s
={d\ln P}/{d\ln\rho}$:
при низкой плотности давление обусловлено вырожденным нерелятивистским
электронным газом, $\Gamma\simeq{5}/{3}$;
при б\'{о}льших $\rho$ --- вырожденными релятивистскими электронами,
$\Gamma\simeq{4}/{3}$.
Скачки $\Gamma(\rho)$ при $\rho<4.3\cdot 10^{11}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
связаны с фазовыми переходами (рассматривается вещество равновесного
химического состава).
Значения параметра $T_0\equiv{P m_n}/{k_B\rho}$ ($m_n$ --- масса нейтрона)
для некоторых значений плотности следующие:
$\rho=5.1\cdot 10^{13}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
 --- $T_0=3.3\cdot 10^{10}\mbox{ K}$,
$\rho=9.8\cdot 10^{13}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
 --- $T_0=4.9\cdot 10^{10}\mbox{ K}$,
$\rho=2.0\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
 --- $T_0=7.9\cdot 10^{10} \mbox{K}$.
Таким образом, для центральной плотной области (где $T_0\gsim T$) в
стационарной
нейтронной звезде, полученной в расчетах \cite{ImshNad1992}, давление,
согласно \cite{Canuto}, в основном обусловлено эффектами неидеальности и
вырождением вещества.
Соответственно, уравнение состояния в этой области действительно следует брать
для случая холодной материи.
Для всей звезды такое рассмотрение является, однако, приближенным.

Используя табличные значения $P_{i+1/2}=P(\rho_{i+1/2})$, можно так же, как
в работе \cite{MullerEriguchi}, проинтерполировать $P(\rho)$ в
промежуточных точках:
\begin{equation}
    P=K_i\rho^{\Gamma_i},\;\rho_{i-1/2}\leq\rho\leq\rho_{i+1/2},
\end{equation}
где
$$
    \Gamma_i=\frac{\ln P_{i+1/2}-\ln P_{i-1/2}}
             {\ln\rho_{i+1/2}-\ln\rho_{i-1/2}},
$$
$$
    \ln K_i
    =\frac{ \ln P_{i-1/2}\ln\rho_{i+1/2}
           -\ln P_{i+1/2}\ln\rho_{i-1/2}}
          {\ln\rho_{i+1/2}-\ln\rho_{i-1/2}};
$$
найти энтальпию в тех же точках
\begin{eqnarray}
    H(\rho)= H_{i-1/2}
            +\frac{K_i\Gamma_i
                   \left(\rho^{\Gamma_i-1}-\rho_{i-1/2}^{\Gamma_i-1}\right)}
             {\Gamma_i-1},\;
                                    \nonumber \\
    \rho_{i-1/2}\leq\rho\leq\rho_{i+1/2};
\end{eqnarray}
а также удельную внутреннюю энергию ($T=0$):
\begin{eqnarray}
    \varepsilon(\rho)
        =\int\frac{{\rm d}\rho P}{\rho^2}
        = \varepsilon_{i-1/2}
         +\frac{K_i\left(\rho^{\Gamma_i-1}-\rho_{i-1/2}^{\Gamma_i-1}\right)}
          {\Gamma_i-1},\;
                                \nonumber \\
        \rho_{i-1/2}\leq\rho\leq\rho_{i+1/2}.
\end{eqnarray}

Для решения данной задачи используется метод, представленный в работе
\cite{AksBlinn}.
В этом методе исходными параметрами, определяющими конфигурацию,
помимо закона вращения,
являются центральная плотность, $\rho_c$, и отношение полярного радиуса
($r_{\rm p}$)
к экваториальному ($r_{\rm eq}$), $r_{\rm p}/r_{\rm eq}$.
Решение строится для набора параметров ${\rho_c}$ и
$r_{\rm p}/r_{\rm eq}$.
Переход к другой паре определяющих параметров, например
$\rho_c$ и $J$,
$\rho_c$ и $\beta$,
$J$ и $M$,
осуществляется с помощью интерполяции.
В работе использовались сетки (в сферических координатах $r$, $\theta$):
$50\times40$,
$50\times20$ и разбиение по $r$ до 400 интервалов при рассмотрении
одномерных невращающихся конфигураций, что
обеспечивало точность выполнения вириального теста
\begin{equation}
    VT=\frac{|2 E_{\rm{rot}}+ E_{\rm{gr}} +
             3\int {\rm d}\mbox{\boldmath$r$} P|}
             {|E_{\rm{gr}}|}=0
\end{equation}
в пределах $\simeq 10^{-3}$.
Разбиение по $r$ выбиралось неравномерным,
координата $i$-го узла сетки:
$r_i=r_{\rm eq}{\left({i}/{i_{\rm max}}\right)}^2$,
$0\le i\le i_{\rm{max}}$,
для увеличения разрешения в центре
(нейтронная звезда малой массы или с быстрым вращением в области
малых $\rho_c$ представляет собой маленькое плотное ядро,
окруженное большой рыхлой оболочкой).

%\clearpage
\section{Результаты решения}
%______________________________________________________________________________
Расчеты были проведены в широком интервале центральных плотностей у
невращающихся конфигураций,
$10^{7}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}\leq\rho_c
\leq 9\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
и для значений
$\rho_c= 2.5, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7, \;8, \;9$
в единицах $10^{14} \mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
с различными значениями параметра $r_{\rm p}/r_{\rm eq}<1$
для вращающихся конфигураций.
Результаты решения представлены на рис.~\ref{MassFig}--\ref{EgrFig}.

%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{mass}
\caption{
        Масса звезды $M$ как функции центральной плотности
        $\rho_c$ для различных значений $J$ (сплошные кривые)
        и параметра $\beta$ (штриховые кривые).
        Единица $J$ --- $10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$.
        Кружки --- приближенное аналитическое рассмотрение.
}
\label{MassFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
На рис.~\ref{MassFig} представлена зависимость $M(\rho_c)$ для фиксированных
значений $J=1.5,\;3.0,\;4.5,\;6.0,\;7.5,\;9.0$
в единицах $10^{49}\mbox{ эрг}\cdot\mbox{сек}$.
Устойчивой (неустойчивой) конфигурации относительно коллапса отвечает
положительный (отрицательный) знак производной
${\left({\partial M}/{\partial\rho_c}\right)}_{s,j}$ \cite{BisnBlinn},
где $s$ --- удельная энтропия, в нашем случае равная минимальному значению,
$s=0$, так как $T=0$;
$j({M_\varpi}/{M})$ --- распределение удельного момента,
$M_\varpi$ --- масса, заключенная внутри цилиндра радиуса $\varpi$.
Как показано в \cite{BisnBlinn}, экстремум $M(\rho_c)|_{s,J}$
близок к экстремуму $M(\rho_c)|_{s,j}$ с тем же $J$ для последовательности
твердотельно вращающихся моделей даже при очень быстром вращении.
В нашем случае удобно использовать приближенный критерий --- знак
${\left({\partial M}/{\partial\rho_c}\right)}_{s,J}$, хотя для
оценки привносимой при этом ошибки необходимо провести еще независимое
исследование

Для невращающихся звезд устойчивые конфигурации существуют при
$\rho_c<10^{9}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
--- это ``белые карлики'' (область на рисунке не видна)
и для $\rho_c>1.45\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
--- нейтронные звезды.~\footnote{\rm
Вообще говоря, в реальном ``белом карлике'' химический состав не должен быть
равновесным.
При анализе устойчивости относительно коллапса приближение равновесного
химического состава также несправедливо.
Благодаря медленности $\beta$-процессов при анализе устойчивости
для доли электронов на нуклон, $Y_e$, будет ${d Y_e}/{d t}=0$
(${d}/{dt}\equiv{\partial}/{\partial t}+(\mathbf{v},\nabla)$)
\cite{ImshChech},
а в
общем случае необходимо определять $Y_e$, решая уравнения кинетики
\cite{BlinnRudz}.
При высоких плотностях, $\rho\gsim 10^{12}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
в нейтронных звездах давление почти полностью определяется свободными
нейтронами, $Y_e$ мало.
}
Максимальная масса ``белого карлика'' получается равной приблизительно
$M_\odot$,
а минимальная масса нейтронной звезды --- $0.0955M_\odot$
при значении центральной плотности
$\rho_c=1.45\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ и радиусе звезды
$r_{\rm eq}=230\mbox{ км}$.
Заметим, что подобные значения получены и в работах
\cite{MullerEriguchi} и \cite{BlinnImshNadNovPerPol}.
Учет эффектов ОТО \cite{ShapTek} приводит к параметрам нейтронной
звезды минимальной массы:
$M=0.0925M_\odot$,
$\rho_c=1.55\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
$r_{\rm eq}=164\mbox{ км}$.
Отсутствие устойчивых конфигураций при промежуточных плотностях связано
с низким значением среднего
$\langle\Gamma\rangle
    \equiv{\int{\rm d}\mbox{\boldmath$r$}\Gamma P}
    /{\int d\mbox{\boldmath$r$} P}
    < 4/3
$ \cite{ZeldNov}.
Однако, для коллапсирующих ядер звезд важно учитывать количественно
температурные эффекты: приближение холодной материи здесь не применимо.

Все изображенные на рисунках вращающиеся конфигурации оказываются устойчивыми
относительно коллапса.
Штриховые линии на рисунках \ref{MassFig}--\ref{EgrFig} соответствуют
значениям $\beta=0.14$
(начало вековой неустойчивости относительно трехмерного возмущения с модой
 $m=2$ для сфероида Маклорена)
и $\beta=0.27$ (начало динамической неустойчивости)
(см. \cite{Chandr}, \cite{Tassoul}).

Вращение увеличивает массу, соответствующую данной центральной плотности:
$M(\rho_c,J_2)>M(\rho_c,J_1)$ для $J_2>J_1$.
Поскольку даже для кривой, находящейся на границе динамической устойчивости,
$\beta=0.27$, значение массы при уменьшении $\rho_c$
(для $\rho_c\gsim 1.45\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
отвечающим нейтронным звездам)
становится ниже максимальной массы невращающегося ``белого карлика''
(см. рис.~\ref{MassFig}),
для вращающихся конфигураций отсутствует непрерывный переход по параметру
$\rho_c$
от ``белых карликов'' к нейтронным звездам (для выбранного закона вращения),
иными словами ---
непрерывная растущая кривая $M(\rho_c,J=\mbox{const)}$ при $\beta<0.27$.
Это согласуется c выводами \cite{MullerEriguchi}.

%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{rpreq}
\caption{
        Отношение полярного радиуса звезды к экваториальному
        как функция центральной плотности
        $\rho_c$ для тех же параметров, что на
        рисунке для массы.
}
\label{rpreqFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{beta}
\caption{
        Отношение энергии вращения к энергии гравитационного поля
        как функция центральной плотности,
        $\rho_c$, для тех же параметров, что на
        рисунке для массы.
}
\label{betaFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{egr}
\caption{
        Гравитационная энергия звезды
        как функция центральной плотности
        $\rho_c$ для тех же параметров, что на
        рисунке для массы.
}
\label{EgrFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
На рис.~\ref{rpreqFig}, \ref{betaFig}, \ref{EgrFig}
представлены соответственно $r_{\rm p}/r_{\rm eq}$,
$\beta$,  $E_{\rm{gr}}$ для звезд с различными $\rho_c$ и $J$ или $\beta$
(для малых $\rho_c$ построены вращающиеся конфигурации с
$r_{\rm p}/r_{\rm eq} < 0.01$ !).
С помощью рис.~\ref{MassFig}, \ref{rpreqFig}, \ref{betaFig}, \ref{EgrFig}
можно определить указанные параметры звезды, если
заданы ее масса $M$ и момент $J$.
Для этого, воспользовавшись рис.~\ref{MassFig}, следует определить $\rho_c$ и
далее, зная $J$ и $\rho_c$, можно использовать
рис.~\ref{rpreqFig}, \ref{betaFig}, \ref{EgrFig}.

Невращающиеся звезды с малым
$\rho_c\lsim 4\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
являются очень рыхлыми: на фоне протяженной оболочки (в ней низкое $\Gamma$,
размер оболочки $r_{\rm eq}$ --- сотни $\mbox{км}$) находится небольшое
плотное однородное ядро с $\rho\simeq\rho_c$ (с большим $\Gamma$);
в звездах с большим $\rho_c\gsim 4\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
масса распределена однородно и компактно
($r_{\rm eq}$ составляет десятки километров).

%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{rho25}
\caption{
        Линии уровня $\lg\rho$
        ($\lg\rho_{\rm min}=5.4$,
         $\lg\rho_{\rm max}=14.4$,
         $\Delta\lg\rho=0.2$)
        для звезды с $\rho_c=2.5\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083$
        ($M=2.0M_\odot$, $J=7.3\cdot 10^{49}\mbox{ эрг}\cdot\mbox{сек}$,
        $\beta=0.40$, $r_{\rm eq}=950км$),
        единица $\rho$ --- $\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
}
\label{rho25Fig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{rho60}
\caption{
        Линии уровня $\lg\rho$
        ($\lg\rho_{\rm min}=10.0$,
         $\lg\rho_{\rm max}=14.6$,
         $\Delta\lg\rho=0.2$)
        для звезды с $\rho_c=6.0\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.26$
        ($M=2.0M_\odot$, $J=3.9\cdot 10^{49}\mbox{ эрг}\cdot\mbox{сек}$,
        $\beta=0.27$, $r_{\rm eq}=29км$),
        единица $\rho$ --- $\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
}
\label{rho60Fig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{r}
\caption{
        Радиусы $r$ как функции
        массы, содержащейся в сфере радиуса $r$,
        $M(r)=2\pi\int_{r^\prime\leq r}dr^\prime d\theta^\prime
                  {r^\prime}^2\sin\theta^\prime\rho(r^\prime,\theta^\prime)$
        для звезд с $\rho_c=2.5\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083$
        и $\rho_c=6\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.26$.
}
\label{rFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{rho1}
\caption{
        Плотности в экваториальной плоскости $\rho(r,\theta=\pi/2)$
        как функции массы
        $M(r)=2\pi\int_{r^\prime\leq r}dr^\prime d\theta^\prime
                  {r^\prime}^2\sin\theta^\prime\rho(r^\prime,\theta^\prime)$
        для звезд с $\rho_c=2.5\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083$
        и $\rho_c=6\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.26$.
}
\label{rho1dFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{omega}
\caption{
        Угловые скорости в экваториальной плоскости,
        $\Omega(r,\theta=\pi/2)$,
        как функции массы
        $M(r)=2\pi\int_{r^\prime\leq r}dr^\prime d\theta^\prime
                  {r^\prime}^2\sin\theta^\prime\rho(r^\prime,\theta^\prime)$
        для звезд с $\rho_c=2.5\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083$
        и $\rho_c=6\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
        ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.26$.
}
\label{OmegaFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
Для вращающихся конфигураций имеется похожее распределение плотности:
при $\rho_c\lsim 4\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ ---
однородная эллипсоидная сильно сплюснутая центральная часть и
весьма протяженная малоплотная оболочка.
Звезды с большим $\rho_c\gsim 4\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
однородны и компактны, притом очень похожи на сфероиды Маклорена.
Это хорошо видно из рис.~\ref{rho25Fig}--\ref{OmegaFig},
на которых представлены звезды
одинаковой массы $\simeq 2M_\odot$, но с различными значениями параметров
$\rho_c=2.5, \; 6.0\cdot 10^{14}\mbox{ г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ и
${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083,\;0.26$.
Первая звезда (рис.~\ref{rho25Fig}) состоит из очень неоднородной малоплотной
протяженной оболочки в виде ``вогнутого гамбургера'' (терминология из
\cite{Hachisu}), $r_{\rm eq}=960\mbox{ км}$,
и центрального сфероидального плотного ядра (около $0.9$ массы звезды
находится на расстоянии $\leq40\mbox{ км}$ от центра, см. рис.~\ref{rFig})
со слабо меняющейся
плотностью (см. рис.~\ref{rho1dFig}), вращающегося примерно твердотельно
(рис.~\ref{OmegaFig}).
Вторая звезда (рис.~\ref{rho60Fig}) компактна и однородна, похожа на сфероид
(см. также рис.~\ref{rFig}--\ref{OmegaFig}).
Заметим, что на рис.~\ref{rFig}--\ref{OmegaFig}
по оси абсцисс отложена масса звезды $M(r)$
внутри сферы радиуса $r$.
Косвенно вывод о близости звезд с большими значениями $\rho_c$ к сфероидам
Маклорена можно сделать из рассмотрения рис.~\ref{rpreqFig}:
${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}$ для
$\beta=\mbox{const}$ асимптотически
приближается к значению ${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}(\beta)$ для сфероидов
Маклорена с увеличением $\rho_c$.

Отношение центробежной силы $\Omega^2(\varpi)\varpi$
к радиальной составляющей
силы тяжести $g_\varpi$ постоянно
только в экваториальной плоскости.
Во всех остальных точках пространства из уравнения (\ref{stat0}) имеем
\begin{equation}
    \frac{\Omega^2(\varpi)\varpi}{-g_\varpi}
   =1+\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial\varpi}
      \frac{1}{-g_\varpi}.
\end{equation}
Для первой звезды есть области, где ${\partial P}/{\partial\varpi}>0$,
и там ${\Omega^2(\varpi)\varpi}/{(-g_\varpi)}>1$.
Для второй звезды распределение плотности такое, что
${\partial P}/{\partial\varpi}<0$ всюду и
$0<{\Omega^2(\varpi)\varpi}/{(-g_\varpi)}<1$, слабо меняющаяся функция
$(\varpi,\;z)$.
У первой звезды, следовательно, отношение центробежной силы к силе тяжести
вне экваториальной плоскости может довольно сильно изменяться в сторону
увеличения.

%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{j}
\caption{
        Зависимость момента импульса звезды $J$ от ее массы $M$ для
        $\beta=0.14$, $\beta=0.27$, $\beta=0.40$ (штриховые кривые).
        Зависимость $J_{\rm{max}}(M)$ для ядра звезды в канун коллапса
        (сплошная кривая).
        Зависимость $J(M)$ для звезд с
        $\rho_c=4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ ---
        граница компактных и протяженных звезд
        (короткие штрихи).
        Кружки --- приближенное аналитическое рассмотрение.
}
\label{JFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________
Особый интерес представляет зависимость $J(M)$ для $\beta=0.27$.
Из рис.~\ref{JFig} видно, что для $M\simeq 2M_\odot$ получается значение
$J\simeq 4\cdot 10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$
(звезда представлена на рис.~\ref{rho60Fig}), т.е. величина
$J=9\cdot 10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$ для этой массы обеспечивает
выполнение условия
$\beta>0.27$, т.е. фрагментацию звезды, с запасом.

Для $M=2M_\odot$ и $J=9\cdot 10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$ наиболее близкой
из рассчитанных является конфигурация с
$\rho_c=2.5\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.0083$, $r_{\rm eq}=950\mbox{км}$,
$M=2.0M_\odot$,
$J=7.3\cdot 10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$,
$\beta=0.40$, $E_{\rm{gr}}=-2.1\cdot 10^{53}\mbox{эрг}$
(см. рис.~\ref{rho25Fig}).
Распределение массы и момента в этой звезде иллюстрируют
рисунки~\ref{rho25Fig}, \ref{rFig}--\ref{OmegaFig}.
Параметры звезды $\rho_c$, $\beta$ неплохо согласуются с параметрами,
полученными в гидродинамических расчетах \cite{ImshNad1992}, несмотря на
некоторое различие в уравнениях состояния
(здесь $T=0$, принудительный равновесный химический состав
в области с малым $\rho$),
заметно меньшее значение $J$,
разницу в пространственном распределении $J$.

В то же время данные стационарные решения не состыковываются с параметрами
нейтронной звезды $M\simeq 1.5M_\odot$, полученной в динамическом расчете
\cite{AksImsh}:
$J=3.4\cdot 10^{49}\mbox{эгр}\cdot\mbox{сек}$,
$\rho_c=2.2\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
$\Omega_c=10^4\mbox{сек}^{-1}$,
$\beta=0.23$,
$E_{\rm{gr}}=-1.08\cdot 10^{53}\mbox{эрг}$,
${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}\simeq 0.54$.
Для $M=1.5M_\odot$, $J=3.1\cdot 10^{49}\mbox{эгр}\cdot\mbox{сек}$
именно для стационарной модели получается
$\rho_c=4.0\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
$\Omega_c=5.5\cdot 10^3\frac{1}{сек}$,
$\beta=0.33$,
$E_{\rm{gr}}=-2.1\cdot 10^{53}\mbox{эрг}$,
${r_{\rm p}}/{r_{\rm eq}}=0.13$.
Это несоответствие по-видимому в основном связано с различием в уравнениях
состояния.~\footnote{\rm В работе \cite{AksImsh} значительная часть
энергии вращения
звезды к концу динамического расчета перешла во внутреннюю энергию, что
привело
к значительному росту температуры, оказывающей влияние на давление, кроме
того,
там в уравнение состояния были включены только нейтроны, $\Gamma\geq5/3$,
что весьма неудачно в области низких плотностей.}

Отношение гравитационного радиуса звезды к экваториальному радиусу,
${2GM}/{(c^2r_{\rm eq})}$, характеризующее влияние эффектов ОТО,
меньше 0.2 для $M\lsim 2M_\odot$.
Для звезд с малой центральной плотностью (очень неоднородное
пространственное
распределение $\rho$) максимум величины ${2GM(r)}/{(c^2r)}$ достигается внутри
звезды, но и для таких звезд значение ${2GM}/{(c^2r_{\rm eq})}$ мало.

%\clearpage
\section{Приближенное рассмотрение эффектов ОТО}
%______________________________________________________________________________

Использованное выше ньютоновское рассмотрение становится плохо применимым при
больших $\rho_c$.
Учесть эффекты ОТО, а также получить некоторые количественные соотношения
в этой области можно с помощью рассмотрения приближенного политропного
уравнения состояния, $P=K\rho^{1+1/n}$, при следующем предположении:
во вращающейся конфигурации
вращение преобразует сферы, поверхности постоянной плотности невращающейся
звезды, в подобные эллипсоиды в качестве поверхностей с постоянной плотностью,
причем без изменения объема.
Кроме того, в дальнейшем полагается твердотельное вращение, точнее, будет
использована следующая формула, связывающая энергию вращения, момент импульса,
момент инерции звезды:
\begin{equation}
    E_{\rm{rot}}=\frac{J^2}{2I}. \label{ErotIJ}
\end{equation}
Действительно, для
$\rho_c>4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ в используемом
уравнении состояния (см. рис.~\ref{GammaFig}) $\Gamma$ меняется слабо и велико,
$\Gamma>2$, так что звезда в центральной области, обеспечивающей наибольший
вклад в интегральные величины, близка к сфероиду Маклорена.
Угловая скорость $\Omega$ в этой области почти постоянна, и
можно ожидать, что равенство (\ref{ErotIJ}) выполнено с хорошей точностью,
хотя вблизи границы угловая скорость может сильно изменяться.

Данный подход подробно описан в книге \cite{ShapTek}.
Полная энергия звезды с массой $M$ и моментом $J$ выражается следующим
образом:
\begin{equation}
    E=E_{\rm{in}}+E_{\rm{gr}}+\Delta E_{\rm{GR}}+E_{\rm{rot}},
    \label{E}
\end{equation}
где
\begin{equation}
    E_{\rm{in}}=k_1K\rho_c^{1/n}M \mbox{ ---} \label{E_int}
\end{equation}
внутренняя энергия,
\begin{equation}
    E_{\rm{gr}}=-k_2G\rho_c^{1/3}M^{5/3}g(\lambda) \mbox{ ---}
    \label{E_gr_int}
\end{equation}
энергия гравитационного поля,
\begin{equation}
    \Delta E_{\rm{GR}}=-k_3\frac{G^2}{c^2}\rho_c^{2/3}M^{7/3} \mbox{ ---}
    \label{E_GTR_int}
\end{equation}
поправка к энергии, связанная с ОТО,
\begin{equation}
    E_{\rm{rot}}=k_4\lambda\rho_c^{2/3}J^2M^{-5/3} \mbox{ ---}
    \label{E_rot}
\end{equation}
энергия вращения,
$\lambda\equiv{({{c^2}/{a^2}})}^{1/3}$ --- параметр, характеризующий
сплюснутость эллипсоида с полуосями $c<a$;
\begin{equation}
    g(\lambda)=\lambda^{1/2}{(1-\lambda^3)}^{-1/2}\arccos\lambda^{3/2}
    \label{glambda}
\end{equation}
\cite{Chandr};
$(k_1/n,k_2,k_3,k_4)$ --- постоянные, зависящие от показателя политропы $n$:
$(0.50,0.81,0.36,2.25)$ для $n=1$,
$(0.40,0.97,0.11,3.24)$ для $n=0$ (для $n=1,\;0$ эти коэффициенты
легко подсчитать).
При выводе интегралов~(\ref{E_int}),
(\ref{E_gr_int}),
(\ref{E_GTR_int}),
(\ref{E_rot})
распределение $\rho(m)$ ($m$ --- масса, содержащаяся
в эллипсоиде) принималось таким же, как $\rho(m)$ ($m$ --- масса, содержащаяся
в сфере) для невращающейся политропы.
Вращение, при сделанных предположениях, модифицирует $E_{\rm{gr}}$
так же, как и для
однородных сфероидов Маклорена (множитель $g(\lambda)$), поскольку потенциал
внутри эллипсоидной оболочки с постоянной плотностью постоянен \cite{Chandr}.
Величины $\rho_c$, $\lambda$ рассматриваются как свободные параметры,
обеспечивающие экстремум $E$ из (\ref{E}):
\begin{equation}
    {\left(\frac{\partial E}{\partial\rho_c}\right)}_{M,J,\lambda},\;
    {\left(\frac{\partial E}{\partial\lambda}\right)}_{M,J,\rho_c}=0,
\end{equation}
т.е.
\begin{equation}
    g^\prime(\lambda)
    =\frac{k_4\rho_c^{1/3}J^2}{k_2GM^{10/3}}, \label{con1}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
     \frac{k_1K}{n}\rho_c^{\frac{1}{n}-1}M
    -\frac{1}{3}k_2Gg(\lambda)\rho_c^{-2/3}M^{5/3}
                                                    \nonumber \\
    -\frac{2}{3}k_3\frac{G^2}{c^2}\rho_c^{-1/3}M^{7/3}
    +\frac{2}{3}k_4\lambda\rho_c^{-1/3}J^2M^{-5/3} \label{con2}
    =0
\end{eqnarray}
Однако из (\ref{E_gr_int}), (\ref{E_rot})
также следует, что
$g^\prime(\lambda)=\beta{g}/{\lambda}$.
Так что
\begin{equation}
\beta(\lambda)
    =\frac{1}{2}
     \left[
         1
        +\frac{3\lambda^3}{1-\lambda^3}
        -\frac{3\lambda^{3/2}}
         {\left(1-\lambda^3\right)^{1/2}\arccos\lambda^{3/2}}
     \right]. \label{betalambda}
\end{equation}
Для данного $\beta$ (или $\lambda$) можно исключить $J$ из уравнений
(\ref{con1}), (\ref{con2}) и получить связь между $M$ и $\rho_c$
\footnote{
    Этот подход, который в \cite{ShapTek} именовался энергетическим подходом,
    был успешно применен к анализу пульсационных свойств вращающихся
    ``белых карликов'' вблизи чандрасекаровского предела.
    В этом случае (с $\lambda=1$) для политропы $n=3$ в \cite{ImshSeid}
    выписаны соответствующие соотношения (\ref{E_int})---(\ref{E_rot}).
}:
\begin{eqnarray}
     \frac{k_1K}{n}\rho_c^\frac{3-n}{3n}
    -\frac{1}{3}(1-2\beta)k_2Gg(\lambda)M^{2/3}
                                                \nonumber \\
    -\frac{2}{3}k_3\frac{G^2}{c^2}\rho_c^{1/3}M^{4/3}
    =0, \label{M_rho_c}
\end{eqnarray}
квадратное уравнение для определения $M^{2/3}$.
Графики зависимостей $g(\lambda)$, $\beta(\lambda)$
представлены на рис.~\ref{gbetaFig}.
Этот рисунок удобно использовать пpи работе с уравнением (\ref{M_rho_c}).
Следует отметить слабое отличие $g$ от $1$ при малой энергии вращения $\beta$.
%______________________________________________________________________________
\begin{figure}
\grpicture{gbeta}
\caption{
        Графики зависимостей
        $g(\lambda)$,
        $\beta(\lambda)$.}
\label{gbetaFig}
\end{figure}
%______________________________________________________________________________

В ньютоновском приближении необходимо положить
$\frac{G^2}{c^2}\rho_c^{1/3}M^{4/3}\simeq 0$ в формулах~(\ref{con2}),
(\ref{M_rho_c}).
Для невращающихся конфигураций ($\beta=0$, $g=1$) в ньютоновском приближении
зависимость
$\log M(\log\rho_c)$ (\ref{M_rho_c}) линейная и почти линейная в численном
расчете при $\rho_c>4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
Используя формулу (\ref{M_rho_c}) и полученные в расчете точки
$(\rho_c,\;M)$:
$(4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3},\;0.236M_\odot)$,
$(9\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3},\;1.242M_\odot)$
(см. рис.~\ref{MassFig}),
можно определить эффективный показатель политропы для используемого
уравнения состояния: $n=0.588$, $\Gamma=1+1/n=2.70$ (см. также
рис.~\ref{GammaFig}).
Для этого $n$ определим коэффициенты $(k_1/n,k_2,k_3,k_4)$ с помощью
линейной интерполяции по $n$ значений коэффициентов при $n=0,\;1$:
$(0.46,0.88,0.21,2.66)$.
Из соотношения (\ref{M_rho_c}) и указанных расчетных точек следует:
$K=2.82\cdot 10^{-6}$ (в ед. СГС).
Использованное в расчетах уравнение состояния согласуется с указанными
значениями $K,\;n$ в пределах 7\% для
$\rho>4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.

Из (\ref{M_rho_c}) следует, что в ньютоновском приближении значение
$M(\rho_c,\;\beta=0.14)$ больше $M(\rho_c,\;\beta=0)$
в $1.7$ раза, а значение
$M(\rho_c,\;\beta=0.27)$ --- в $3.8$ раза, что согласуется с расчетами
(см. рис.~\ref{MassFig}).

%______________________________________________________________________________
\begin{table*}
\caption{Зависимости $M(\rho_c)$ и $J(\rho_c)$ для
$\beta=0,\;0.14,\;0.27$
(аналитическое рассмотрение)}
\label{table1}
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c c c c|}
\hline
\begin{tabular}{c}
$\rho_c$,\\ $10^{14}$\\$\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{c} ${M}/{M_\odot}$\\ без ОТО \end{tabular}&
\begin{tabular}{c} ${M}/{M_\odot}$\\ с ОТО \end{tabular}&
\begin{tabular}{c}
$J$\\ без ОТО,\\$10^{49}$\\$\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$
\end{tabular}&
\begin{tabular}{c}
$J$\\ c ОТО,\\$10^{49}$\\$\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$
\end{tabular}\\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{$\beta=0$}\\
\hline
$4$ & 0.24 & 0.23 & 0 & 0 \\
$5$ & 0.37 & 0.36 & 0 & 0 \\
$6$ & 0.54 & 0.52 & 0 & 0 \\
$7$ & 0.74 & 0.70 & 0 & 0 \\
$8$ & 0.98 & 0.92 & 0 & 0 \\
$9$ & 1.25 & 1.15 & 0 & 0 \\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{$\beta=0.14$}\\
\hline
$4$ & 0.40 & 0.39 &
$0.17$ & $0.16$ \\
$5$ & 0.64 & 0.60 &
$0.35$ & $0.31$ \\
$6$ & 0.93 & 0.85 &
$0.64$ & $0.55$ \\
$7$ & 1.27 & 1.13 &
$1.03$ & $0.87$ \\
$8$ & 1.67 & 1.46 &
$1.62$ & $1.29$ \\
$9$ & 2.13 & 1.81 &
$2.37$ & $1.80$ \\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{$\beta=0.27$}\\
\hline
$4$ & 0.90 & 0.80 &
$1.06$ & $0.86$ \\
$5$ & 1.43 & 1.19
& $2.20$ & $1.63$ \\
$6$ & 2.07 & 1.65
& $3.95$ & $2.72$ \\
$7$ & 2.82 & 2.14
& $6.49$ & $4.09$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{table*}
%______________________________________________________________________________
Значения $M,\;J$ для некоторых значений $\rho_c$ и
$\beta=0,\;0.14,\;0.27$, полученные с помощью
формул~(\ref{con1}), (\ref{con2}),
приведены в таблице~\ref{table1}.
В ньютоновском случае они хорошо согласуются с расчетами
(см. рис.~\ref{MassFig}, \ref{JFig}).

Из (\ref{con1}), (\ref{M_rho_c}) в ньютоновском
приближении следует для $\beta=\mbox{const}$:
\begin{eqnarray}
    J
    ={\left(\frac{k_2G\beta g}{k_4\lambda}\right)}^{1/2}
    {\left(\frac{3k_1 K}{(1-2\beta)k_2Ggn}\right)}^\frac{n}{2(3-n)}
    M^\frac{5-2n}{3-n}
                                                    \nonumber \\
    \propto K^{0.12}M^{1.59}, \label{J_M}
\end{eqnarray}
слабая зависимость от $K,\;n$ при жестком уравнении состояния.
В расчетах также получается степенная зависимость $J$ от $M$ с показателем
степени $1.60$ для $\beta=0.14$ и $1.55$ для $\beta=0.27$.
(взяты пары $(M,\;J)$ в ед. $(M_\odot,\;10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек})$:
$(0.40,\;0.178)$, $(2.18,\;2.67)$ для $\beta=0.14$ и
$(0.551,\;0.52)$, $(1.99,\;3.82)$ для $\beta=0.27$).

Поправка, связанная с ОТО, приводит к снижению значения $J$ для данной
массы $M$ при фиксированном $\beta$, так как
$J^2 \propto M^{10/3}\rho_c^{-1/3}$ согласно (\ref{con1}),
а $\rho_c$ с ОТО при той же массе выше ньютоновского $\rho_c$.
Однако неизвестно, упрощает ли это обстоятельство фрагментацию
($\beta>0.27$ --- условие фрагментации в ньютоновском случае).

Полученное согласие
политропного приближения с расчетами в области высоких
плотностей особенно ценно, если учесть неопределенность с уравнением
состояния.
Данное приближение позволяет получать интегральные характеристики
звезды без проведения трудоемких численных расчетов.
В этом приближении вполне можно учесть также поправки, связанные с
отличием уравнения
состояния от политропы, в виде соответствующей поправки к внутренней энергии
(рассматривая распределение плотности как в политропной конфигурации,
см. \cite{ShapTek}, \cite{ImshSeid}).

%\clearpage
\section{Оценки максимальных моментов}
%______________________________________________________________________________

Совместимо ли условие динамической неустойчивости для стационарной
конфигурации, $J>J(M,\;\beta=0.27)$, с допустимыми значениями $J$
для коллапсирующего ядра звезды?
Естественно ограничить начальное вращение звезды твердотельным,
поскольку
в предсверхновой происходило термоядерное горение с интенсивным
перемешиванием вещества \cite{ImshNad1992}.
Для предельно сильно вращающейся начальной конфигурации
в виде политропы с $n=3$, когда
достигается первая космическая скорость на экваторе, имеем:
$J=1.57\cdot 10^{-4}G^{1/2}r_{\rm eq}^5\rho_c^{3/2}$,
$M=0.0255r_{\rm eq}^3\rho_c$ \cite{Hachisu}.
Так что:
\begin{equation}
    J_{\rm{max}}=0.071G^{1/2}M^{5/3}\rho_c^{-1/6}. \label{J_max1}
\end{equation}

Формулу (\ref{J_max1}), учитывая слабую роль вращения в начальной
конфигурации (см. Введение),
можно получить из простых соображений, принимая для стационарных
вращающихся конфигураций политропное приближение с $n=3$, пренебрегая
вращением как слабым возмущением \cite{ImshNad1977}.
Полагая, что распределение плотности во вращающейся звезде остается
политропой с индексом $n=3$,
можно, используя значение момента инерции
политропы, записать для максимально возможного момента импульса
\cite{ImshNad1992}:
\begin{equation}
    J_{\rm{max}}=\frac{2}{3}\cdot 0.113 M r_{\rm eq}^2\Omega_{\rm{max}},
    \label{JMax2}
\end{equation}
где угловая скорость звезды $\Omega_{\rm{max}}$
определяется из условия равенства
центробежной силы на экваторе силе тяжести
(условие первой космической скорости):
\begin{equation}
    \Omega_{\rm{max}}=\sqrt{\frac{GM}{r_{\rm eq}^3}}.
    \label{OmegaMax2}
\end{equation}
Значение экваториального радиуса $r_{\rm eq}$ можно выразить через массу
звезды и
ее центральную плотность, зная отношение центральной плотности к средней
$\rho_c/\langle\rho\rangle=54.2$ при $n=3$, и получить из
(\ref{JMax2}), (\ref{OmegaMax2}):
\begin{equation}
    J_{\rm{max}} = \frac{2}{3}
        \cdot 0.113\left(\frac{3\cdot 54.2}{4\pi}\right)^{1/6}
            G^{1/2}\frac{M^{5/3}}{\rho_c^{1/6}}
           = 0.115G^{1/2}\frac{M^{5/3}}{\rho_c^{1/6}}. \label{J_max2}
\end{equation}
Данное значение $J_{\rm{max}}$ из (\ref{J_max2}) завышено по сравнению с
численным результатом
(\ref{J_max1}) в $1.6$ раза,
вследствие того, что распределение плотности во вращающейся
конфигурации отлично от сферически симметричного.
Тем не менее в дальнейших оценках будет использовано для $J_{\rm{max}}$
соотношение
(\ref{J_max2}), поскольку мы полагаем, что во вращающемся ядре звезды,
окруженном оболочкой, распределение плотности гораздо ближе к сферически
симметричному, чем для вращающейся звезды в вакууме.

Центральная плотность $\rho_c$ при данной массе $M$ должна быть выбрана такой,
чтобы начинался коллапс.
Вклад эффектов вращения мал.
Следовательно, можно, как уже было указано, использовать значение $\rho_c$
для коллапсирующей звезды,
учитывая слабую зависимость $J_{\rm{max}}$ от $\rho_c$ (\ref{J_max2}).
Так, из работы \cite{ImshNad1992}, для ядра звезды $M=2M_\odot$ на
границе устойчивости без вращения
$\rho_c^{(1)}=4.45\cdot 10^8\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$,
а с почти предельно сильным вращением (одномерная модель с усреднением
центробежной силы по телесному углу)
$\rho_c^{(2)}=6.11\cdot 10^8\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.~\footnote{
    Строго говоря, в численном расчете \cite{ImshNad1992} центральная плотность
    $\rho_c$, при которой начинался коллапс,
    была определена для угловой скорости $\omega_0=0.86\Omega_{\rm{max}}$.
    Легко оценить, что в случае линейной зависимости $\rho_c=\rho_c(\beta)$,
    правдоподобной при малых значениях параметра $\beta$,
    величина увеличения плотности
    $\Delta\rho_c\propto\beta\propto\omega_0^2$ может быть в $(0.86)^{-2}$
    раза и может привести к
    $\rho_c\simeq 6.69\cdot 10^8\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
    Таким изменением $\rho_c$ можно пренебречь.
}
Различие $J_{\rm{max}}$ для этих значений равно 5\%:
$J_{\rm{max}}^{(1)}=1.073\cdot 10^{50}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$,
$J_{\rm{max}}^{(2)}=1.018\cdot 10^{50}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$.
Для определения $J_{\rm{max}}(M)$ в других точках $M$ использованы данные
$\rho_c$ для невращающихся конфигураций из работ
\cite{BaskoImsh} ($M=1.4M_\odot,\;1.7M_\odot$),
\cite{BlinnRudz} ($M=1.21M_\odot$, данная модель отлична от
политропы $n=3$),
\cite{BasRudzSeid} ($M=1.19M_\odot$).
В цитированных работах эффекты нейтронизации вещества описывались достаточно
детальной кинетической моделью, которая учитывала наиболее распространенные
нуклиды группы железа с некоторым избытком нейтронов.
Как показано в численных расчетах
\cite{BaskoImsh}, \cite{BlinnRudz}, \cite{BasRudzSeid},
гидродинамический коллапс (в буквальном смысле слова) начинается после
некоторой начальной стадии неравновесной нестационарной нейтронизации,
очень длительной в масштабах характерных гидродинамических времен для
всего рассматриваемого интервала масс железных ядер звезд
$1.19M_\odot\leq M\lsim 1.7M_\odot$.
Эту стадию мы будем называть гидростатической начальной стадией коллапса.
Очевидно, что в течении этой стадии начальное твердотельное вращение ядра
звезды не должно превышать своего критического значения $\Omega_{\rm{max}}$.
Поскольку на стадии нейтронизации ядро звезды сжимается с постоянным
моментом, необходимые критические условия для величины $\Omega$
должны определяться в конце этой стадии.
Тогда очень резко, как показывают расчеты
\cite{BaskoImsh}, \cite{BlinnRudz}, \cite{BasRudzSeid},
нарушаются условия гидростатического равновесия и наступает канун коллапса.
Критическое значение центральной плотности $\rho_c$ оказывается заметно выше
своего начального значения, которое во всех расчетах выбиралось достаточно
малым, чтобы состыковаться с эволюционными расчетами в предположении
равновесной доли электронов $Y_e=0.47$, соответствующей нуклиду
$^{56}\mbox{Fe}$.

%______________________________________________________________________________
\begin{table*}
\caption{Максимальные моменты для четырех типичных масс
железных ядер звезд (с
учетом гидростатической стадии коллапса из-за нейтронизации вещества)}
\label{table2}
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabular}{|c| c c c c|}
\hline
$M/M_\odot$ & 2 & 1.7 & 1.4 & 1.2 \\
\hline
$\rho_c$, $\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ &
$4.45\cdot 10^8$ &
$\simeq 2\cdot 10^9$ &
$\simeq 5\cdot 10^9$ &
$\simeq 5\cdot 10^{10}$ \\
$\rho_{\rm CO}$, $\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ &
$4.45\cdot 10^8$ &
$2.24\cdot 10^8$ &
$6.31\cdot 10^8$ &
$3.16\cdot 10^9$ \\
\hline
\begin{tabular}{c}$J_{\rm{max}}$,\\ $10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}$
\end{tabular}&
10.7 & 6.37 & 3.94 & 2.26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{table*}
%______________________________________________________________________________
Эти данные представлены в таблице~\ref{table2} и на рис.~\ref{JFig}.
Учитывается нейтронизация вещества, приводящая к росту
начальной центральной плотности от $\rho_{\rm CO}$ к $\rho_c$
в канун коллапса
(рост примерно на порядок величины для моделей с массами менее $2M_\odot$,
для $2M_\odot$ нейтронизация несущественна и ею пренебрегается).
Для оценок взято значение $\rho_c$, получающееся в гидростатической стадии
коллапса из-за нейтронизации.
Видно, что область $J>J(M,\;\beta=0.27)$ перекрывается с
областью допустимых параметров $J<J_{\rm{max}}(M)$ коллапсирующей
звезды для $1.2M_\odot\lsim M\lsim 2M_\odot$.

%\clearpage
\section{Заключение}
%______________________________________________________________________________
В данной работе построены осесимметричные модели дифференциально
вращающихся холодных (баротропное уравнение состояния $P=P(\rho)$)
ньютоновских нейтронных звезд, в которых максимальная плотность звезды
достигается на оси вращения.
Выбранный закон вращения, соответствующий данным расчетов \cite{ImshNad1992},
переходящий в твердотельное вращение при жестком уравнении состояния,
и новый численный метод \cite{AksBlinn} позволили перебрать всю допустимую
область параметров вращающихся нейтронных звезд с данным законом вращения:
центральная плотность
$\rho_c\gsim 1.5\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ и энергия вращения
$0\leq \beta\lsim 0.5$
(или масса $M\gsim 0.1M_\odot$ и момент $J\geq0$, и такие, что
еще применимо ньютоновское приближение).
%Отметим, что методы самосогласованного поля, основанные на простых итерациях,
%не позволяют строить данные конфигурации с большим вращением
%$\beta\gsim 0.35$,
%вследствие неустойчивости этих конфигураций в осесимметричной
%постановке \cite{Chandr ССЫЛКА???}.
Построенные в данной работе конфигурации с значением
$\rho_c\gsim 1.5\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$ устойчивы
относительно коллапса для рассмотренного уравнения состояния \cite{Canuto}.
Причем существует два класса решений:
неоднородные и пространственно протяженные звезды с
$\rho_c\lsim 4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$
и однородные и компактные ---
$\rho_c\gsim 4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
Для последних оказывается хорошо применимым приближенное политропное
рассмотрение \cite{ShapTek}, позволяющее из простых аналитических оценок,
выбрав подходящее значение показателя политропы для аппроксимации уравнения
состояния, определять значение одного неизвестного параметра из
$\rho_c$, $M$, $J$ (или $\beta$) при двух других заданных.

Оказалось, что существует широкая область параметров коллапсирующей звезды:
\begin{eqnarray}
    1.3{\left(\frac{M}{M_\odot}\right)}^{1.55}
    \lsim \frac{J}{10^{49}\mbox{эрг}\cdot\mbox{сек}}
    \lsim 1.3{\left(\frac{M}{M_\odot}\right)}^{3.0},\;
                                                             \nonumber \\
    1.2M_\odot\lsim M\lsim 2M_\odot, \label{region}
\end{eqnarray}
которая, с одной стороны, допустима для коллапсирующего ядpа звезды
(правая часть
неравенства (\ref{region})), а с другой --- допускает образование стационарных
конфигураций в рассмотренном классе решений (выбранный закон вращения),
неустойчивых относительно фрагментации, $\beta\geq 0.27$
(левая часть неравенства (\ref{region})).
Численный множитель и показатель в правой части (\ref{region}) получен
из аппроксимации данных таблицы~\ref{table2}.
При отсутствии сброса массы и момента для звезды из этой области,
возможно деление при коллапсе.
Область неустойчивости по отношению к фрагментации вращающейся нейтронной
звезды
на рис.~\ref{JFig} получается вполне значимой, особенно вблизи
максимальных масс $M\simeq 2M_\odot$.
Благодаря эффектам нейтронизации вещества эта область сужается в окрестности
маломассивных нейтронных звезд, сходя на нет при $M\simeq 1M_\odot$.
Интересно отметить, что значительную часть этой области составляют нейтронные
звезды из подкласса компактных (см. рис.~\ref{JFig}), т.е. с центральной
плотностью
$\rho_c\gsim 4\cdot 10^{14}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$.
Возникает естественный вопрос, как совместить приближение холодной материи в
уравнении состояния для вращающихся нейтронных звезд с тем, что в начальном
состоянии и в процессе коллапса железные ядра звезд, наоборот, имели настолько
высокие температуры, что их уравнения состояния аппроксимировались
соотношениями горячей материи, т.е. смеси идеальных газов из фотонов, нуклонов,
нуклидов и различных лептонов.
Здесь мы можем прежде всего указать на роль нейтринных потерь энергии,
которые,
как известно, уносят основную долю освобождаемой гравитационной энергии,
так что к концу стадии нейтринного охлаждения ($\simeq 10\mbox{сек}$) в
уравнении состояния вещества температурные члены становятся поправками к
основному приближению холодной материи \cite{ImshNad1992}, \cite{AksImsh}.
Тем не менее учет температурных поправок должен сужать найденную нами область
неустойчивости, линии с $\beta=\mbox{const}$ на рис.~\ref{JFig} будут
подниматься.
Но это также означает, что процесс фрагментации затруднен до окончания стадии
нейтринного охлаждения и, следовательно, до установления стационарных холодных
конфигураций вращающихся нейтронных звезд.
Эти соображения могут быть в пользу данного метода определения области
перспективой в смысле деления звезды при коллапсе.
Хотя, естественно, требуются полные трехмерные расчеты коллапса для
подтверждения механизма коллапса и взрыва \cite{Imshennik1992}.

Очевидно, что перед решением задачи о трехмерном расчете коллапса с вращением
(если такие усилия когда-нибудь будут успешными) целесообразно
исследовать устойчивость полученных
в данной работе осесимметричных конфигураций с $\beta>0.27$.
Целесообразно также с помощью трехмерного расчета
исследовать эволюцию неустойчивых относительно фрагментации конфигураций:
возможность фрагментации или сброса массы,
потери момента $J$ гравитационным излучением \cite{Centrella}.
% ССЫЛКА на Centrella!!!
Если фрагментация --- то на сколько частей и как
перераспределяется $M,\;J$?
При этом для упрощения задачи можно ориентироваться на компактные и однородные
конфигурации.
Для такой конфигурации в начальном состоянии $Y_e\simeq 0$,
а если вообще не интересоваться процессами нейтронизации в ходе эволюции
(эти процессы могут оказаться важными для деления звезды),
то можно использовать уравнение состояния нерелятивистского
($\rho\ll 6\cdot 10^{15}\mbox{г}\cdot\mbox{см}^{-3}$)
вырожденного невзаимодействующего нейтронного газа,
$P=5.38\cdot 10^9\rho^{5/3}$ (ед. СГС).
В этом случае получается примерно та же область параметров звезд неустойчивых
относительно фрагментации, как в неравенствах (\ref{region}).

Ранее \cite{AksImsh} была предпринята попытка в рамках
двумерной гидродинамики исследовать динамическую устойчивость
быстро
вращающейся нейтронной звезды, полученной в одномерных расчетах коллапса
\cite{ImshNad1992}.
Однако из-за отсутствия равновесия в начальной конфигурации и потерь энергии
(в двумерной задаче не было учтено нейтринное излучение)
благодаря возникшим радиальным пульсациям с ударными волнами,
часть энергии вращения перешла во внутреннюю, что привело в конце концов к
снижению $\beta$ ниже критического значения $0.27$.
Это сделало маловероятным последующую фрагментацию в течении характерного
гидродинамического времени.
В данной работе построены двумерные динамически неустойчивые конфигурации
близкие к расчету \cite{ImshNad1992} и пригодные для исследования устойчивости.

%\begin{acknowledgements}
Авторы выражают благодарность
С.~Вусли,
А.Ф.~Захарову,
М.В.~Мурзиной,
Д.К.~Надёжину,
Д.В.~Попову,
Д.Г.~Яковлеву,
оказавшим большую помощь в выполнении данной работы.
Работа была выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (94-02-17114)
и Международного научного фонда (грант No~M9E000).
%The research described in this publication was made possible in part by grant
%No~M9E000 from the International Science Foundation.
%\end{acknowledgements}

\begin{thebibliography}{}

\bibitem{ImshNad1992}
Имшенник В.С., Надёжин Д.К. //
Письма в Астрон. журн. 1992. т. {\bf 18}. с. 195.

\bibitem{ImshNad1977}
Имшенник В.С., Надёжин Д.К. //
Письма в Астрон. журн. 1977. т. {\bf 3}. с. 353.

\bibitem{IvImshNad}
Иванова Л.Н., Имшенник В.С., Надёжин Д.К. //
Сб. Научные информации. 1969. вып. 13. с. 3.

\bibitem{Imshennik1992}
Имшенник В.С. //
Письма в Астрон. журн. 1992. т.{\bf 18}. с. 489.

\bibitem{BlinNovPerPoln}
Блинников С.И., Новиков И.Д., Переводчикова Т.В., Полнарев А. Г. //
Письма в Астрон. журн. 1984. т. {\bf 10}. с. 422.

\bibitem{ImshPop}
Имшенник В.С., Попов Д.В. //
Письма в Астрон. журн. 1994. т. {\bf 20}. с. 620.

\bibitem{Arnett}
Arnett W.D. //
Astrophys. J. 1987. v. {\bf 319}. p. 136.

\bibitem{Burrows1987}
Burrows A. //
Astrophys. J. Lett. 1987. v. {\bf 318}, p. 57.

\bibitem{BurrGos}
Burrows A., Goshy J. //
Astrophys. J. Lett. 1993. v. {\bf 416}, p. 75.

\bibitem{BurrFry1993} //
Burrows A., Fryxell B.A.
Astrophys. J. Lett. 1992 v. {\bf 418}, p. 33.

\bibitem{TassOstr}
Tassoul J.L., Ostriker J.P.
Astrophys. J. 1968. v. {\bf 154}. p. 613.

\bibitem{OstrTass}
Ostriker J.P., Tassoul J.L. //
Astrophys. J. 1968. v. {\bf 155}. p. 987.

\bibitem{OstrBod}
Ostriker J.P., Bodenheimer P. //
Astrophys. J. 1973. v. {\bf 180}. p. 171.

\bibitem{TohDurMCCol}
Tohline J.E., Durisen R.H., McCollough M. //
Astrophys. J. 1985. v. {\bf 298}. p. 220.

\bibitem{DurGinTohBoss}
Durisen R.H., Gingold R.A., Tohline J.E., Boss A.P. //
Astrophys. J. 1986. v. {\bf 305}. p. 281.

\bibitem{Chandr}
Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. 1973.
М.: Мир.

\bibitem{Tassoul}
Tassoul, J.-L.
Theory of Rotating Stars, Princeton University Press. 1978.

\bibitem{Datta}
Datta B. //
Fundamentals of Cosmic Physics. 1988. v. {\bf 12}. p. 151.

\bibitem{FriedIpsPar}
Friedman J.L., Ipser J.P., Parker L. //
Astrophys. J. 1986. v. {\bf 304}. p. 115.

\bibitem{Canuto}
Canuto V. //
Ann. Rev. Astron. and Astrophys. 1974. v. {\bf 12}. p. 167.

\bibitem{ShapTek}
Шапиро С., Тьюколски С.
Черные дыры. Белые карлики. Нейтронные звезды. части 1,2. 1985. М.: Мир.

\bibitem{FeyMetTell}
Feynman P.R., Metropolis N., Teller E. //
Phys. Rev. 1949. v. {\bf 75}. p. 1561.

\bibitem{BaymPetSut}
Baym G., Pethick C.J., Sutherland P. //
Astrophys. J. 1971. v. {\bf 170}. p. 299.

\bibitem{BaymBetPet}
Baym G., Bethe H.A., Pethick C.J. //
Nucl. Phys. 1971. v. {\bf A175}. p. 225.

\bibitem{MullerEriguchi}
M\"uller E., Eriguchi Y. //
Astron. and Astrophys. 1985. v. {\bf 152}. p. 325.

\bibitem{AksBlinn}
Aksenov~A.G., Blinnikov~S.I. //
Astron. and Astrophys, 1994. v. {\bf 290}. p. 674.

\bibitem{BisnBlinn}
Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. //
Astron. and Astrophys. 1974. v. {\bf 31}. p. 391.

\bibitem{ImshChech}
Имшенник~В.С., Чечеткин~В.М. //
Астрономический журнал. 1970. т. {\bf 47}. с. 929.

\bibitem{BlinnImshNadNovPerPol}
Блинников~С.И., Имшенник~В.С., Надёжин~Д.К.,
Новиков~И.Д., Переводчикова~Т.В., Полнаpев~А.Г. //
Астрономический журнал. 1990. т. {\bf 67}. с. 1181.

\bibitem{ZeldNov}
Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика. 1967.
М.: Наука.

\bibitem{Hachisu}
Hachisu I. //
Astrophys. J. Suppl. 1986. v. {\bf 61}. p. 479.

\bibitem{AksImsh}
Аксенов А.Г., Имшенник В.С. //
Письма в Астрон. журн. 1994. т. {\bf 20}. с. 32.

\bibitem{ImshSeid}
Имшенник~В.С., Сеидов~З.Ф. //
Астрофизика. 1970. т. {\bf 6}. с. 301.

\bibitem{BaskoImsh}
Баско М.М., Имшенник В.С. //
Астрономический журнал. 1975. т. {\bf 52}. с. 469.

\bibitem{BlinnRudz}
Блинников С.И., Рудзский М.А. //
Письма в Астрон. журн. 1984. т. {\bf 10}. с. 363.

\bibitem{BasRudzSeid}
Баско М.М., Рудзский М.А., Сеидов З.Ф. //
Астрофизика. 1979. т. {\bf 16}. с. 321.

\bibitem{Centrella}
Houser J.L., Centrella J.M., Smith S.C. //
Physical Rev. Letters. 1994. v. {\bf 72}. n.9. p. 1314.
\end{thebibliography}
\end{document}
